Optimaal georefereren

De TMK en de triangulaties van 1850 en 1929

Studiedag Historische Basiskaart Groningen
Groningen, 21 augustus 2009

Jan Hartmann
Afdeling Geografie
Universiteit van Amsterdam
j.l.h.hartmann@uva.nl

(NB: Als u op de plaatjes rechts klikt, worden ze in hun oorspronkelijke grootte in een nieuw venster geopend.

De triangulatie van 1850

Het resultaat van de metingen van 1850 werd vastgelegd in de Meetkunstige Beschrijving" Ook de wiskunde werd uitvoerig beschreven, waarmee de huidige computergebruiker zich pas goed realiseert dat al die hoeken, afstanden en coordianten met de hand zijn uitgerekend.
De projectie die voor de TMK werd gebruikt is de zogenaamde Bonne-projectie, De projectie is oppervlakte-getrouw (let op de Tissot-cirkels), maar geeft vooral aan de randen sterke vertekeningen van richting en vorm. Alleen langs de centrale lengte- en breedtegraden treedt geen vertekening op. Breedtegraden worden als concentrische cirkels worden afgebeeld met middelpunt boven de noordpool en met lengtes gelijk aan de lengte op de aardbol. Ze worden op gelijke afstanden langs de centrale lengtegraad geplaatst, die zelf recht en in het midden wordt afgebeeld. De overige lengtegraden worden als complexe curves getekend, waardoor de typische hart-vorm ontstaat. Het is een van de meest gebruikte projecties in de negentiende eeuw, omdat ze een simpele constructie paart aan een elegante en in ieder geval oppervlakte-getrouwe weergave van de aarde.
(demo: http://www.uff.br/mapprojections/Bonne_en.html)
Voor de weergave van de aarde op een plat vlak moet een willekeurig projectie- middelpunt worden gekozen, dat zo veel mogelijk in het midden van het te karteren gebied moet liggen. De projectie-berekeningen waren reeds in 1822 ontworpen, en omdat toen Nederland en Belgie nog verenigd waren, werd als centrale breedtegraad 51.5 gekozen, in het zuiden van Noord-Brabant. De centrale lengtegraad was de meridiaan door de Westertoren van Amsterdam (4.8838828), in navolging van Frankrijk, waar de centrale meridiaan in Parijs werd gedefinieerd (da Vinci Code). Beide cirkels kruisen elkaar even boven Breda, bij het dorp Chaam. In de geprojecteerde TMK-kaart krijgt dit punt het coordinaat 0,0, en worden alle verdere coordinaten als afstanden hiervandaan berekend. Heel Europa ziet er in deze projectie met Nederland als middelpunt zo uit, en de wereld zo.
De omrekening van werelbol-coordinaten naar TMK-coordinaten is wiskundig complex, maar kan in ieder GIS-systeem worden berekend. Echter, in tegenstelling tot moderne projecties, die standaard in de systemen zijn opgenomen, moet men voor de TMK-projectie de parameters zelf ingeven. In het projectie-programma PROJ ziet deze parameterlijst als volgt uit:

+proj=bonne +lat_1=51.5 +lon_0=4.8838828 +a=6376950.4 +rf=309.65

Als referentie-punten werden 1032 triangulatie-punten ingemeten, merendeels kerktorens. U ziet dat de lengegraden berekend zijn vanuit Amsterdam. Deze metingen waren gebaseerd op de oorspronkelijke metingen van Krayenhof rond 1810 (TODO)

De triangulatie van 1929

Van 1885 tot 1929 werd het Nederlandse driehoeksnet opnieuw opgemeten. Het projectie-systeem werd volledig vernieuwd: het centrale referentiepunt werd nu echt in het midden van het land gelegd: de toren van de OL-Vrouwe-Kerk te Amersfoort, en als projectie werd de stereografische projectie gekozen, of liever een variant daarvan, de dubbelprojectie van Schreiber. Deze projectie is hoekgetrouw, geeft dus in tegenstelling tot de TMK-projectie wel de hoeken, maar niet de oppervlaktes correct weer. De projectie is bekend onder de naam "Amersfoort" of "Rijksdriehoeksnet (RD)". Dit is Nederland geprojecteerd. Europa ziet er in deze projectie zo uit, en de wereld krijgt deze vorm. Als we beide projecties over elkaar heen leggen, met de OL-Vrouwekerk in Amersfoort als gemeenschappelijk middelpunt ontstaat het volgende beeld: blauw TMK, rood RD. We zien dat de RD-projectie iets oostwaarts is gedraaid, en dat de afstand tussen overeenkomstige punten toeneemt naarmate men zich verder van Amersfoort verwijdert, tot bijna een kilometer in Noord-Oost-Groningen. Duidelijk is ook dat de oost-west verschuiving wat groter is dan de noord-zuid verschuiving.
De formule (in PROJ) om wereldbol-coordinaten naar RD om te rekenen is: +proj=sterea +lat_0=52.15616055555555 +lon_0=5.38763888888889 +k=0.999908 +x_0=155000 +y_0=463000 +a=6377397.155 +rf=299.1528128
In totaal werden 3732 driehoekspunten ingemeten, waaronder ook de 1000 kerktorens uit de eerste triangulatie.

Vergelijking 1850-1929

Omdat de volgnummers in beide jaren geen verband met elkaar hebben en er bij mijn weten geen concordans bestaat, kan dat alleen maar door bij ieder punt van 1850 het dichtsbijzijnde punt in 1929 op te zoeken, en in een GIS-database als PostGIS gaat dat (betrekkelijk) eenvoudig met een afstands-query. Natuurlijk moeten de TMK-coordinaten worden omgerekend naar RD-coordinaten, maar met de beide bovenstaande formules is dat eenvoudig te doen. Dit levert de volgende tabel op. De laatste kolom geeft de afstand tussen het (berekende) TMK-coordinaat en het officiele RD-coordinaat. Het overgrote deel van die afstanden (900 van de 1000) ligt tussen de 30 en 70 meter, te veel dus voor een kadastrale georeferentie. Een voorbeeld is de kerk van St. Geertruid Het rode punt is de (exacte) RD-locatie van de kerktoren, het gele punt het omgerekende TMK-coordinaat. Bij deze omrekening komt de kerk op de TMK diep in het droogdal te liggen, in plaats van boven op de berg. Let vooral ook op de ongelooflijke nauwkeurigheid van de lithografie: de rode lijn is in werkelijkheid 59 meter lang. Op een schaal van 1:50.000 is dat op de kaart een afstand van een millimeter, en de kerk is ruimschoots (niet helemaal) nauwkeurig binnen die millimeter afgebeeld.
Het beeld wordt duidelijker als we alle TMK- en RD-punten die dichter dan 100 meter bij elkaar liggen plotten. De punten geven de locatie van het TMK-coordinaat weer, de rode lijnen de richting en relatieve afstand (75 maal vergroot) van het dichtstbijzijnde RD-coordinaat. Het is duidelijk dat de afwijking systematisch is, globaal noord-zuid, en gecentreerd rond de meridiaan van Amsterdam. Hij moet te maken hebben met de omrekeningsformule. Een eenvoudige correctie is de projectie iets maar het noorden op te schuiven, dus als centrale breedtegraad voor de TMK-projectie niet 51.5, maar 51.5006 graden te kiezen. De maximale afwijking wordt dan beperkt tot 15 meter, zoals hier te zien is: de afstand weergegeven door de rode lijn is nu 300 maal vergroot. Nog steeds lijkt de vertekening systematisch: toenemend naar het oosten en in Zeeuws-Vlaanderen, maar vermoedelijk is dit het gevolg van fouten bij de opmeting van de triangulatie. Voor de kerk van St. Geertruid, een van de grotere afwijkingen, komen we nu tot een veel acceptabeler resultaat: de kerk ligt nu tenminste op het plateau.
We kunnen deze laatste, residuele afwijking nog wegwerken door de triangulatie-punten van de TMK te rubber-sheeten naar de exacte RD-lokatie. Op de aldus bewerkte Topografisch-Militaire kaart liggen de ongeveer 800 kerktorens dan op de precieze lokatie, en is het tussenliggende kaartbeeld naar rato rechtgetrokken. We mogen ervan uitgaan dat de opmetingen binnen de triangulatie-driehoeken nauwkeurig zijn geweest, dus dat een (geringe) verschuiving van de driehoeks-punten het tussenliggende kaartbeeld correct zal weergeven.